Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E為A1C1的中點，
（Ⅰ）證明：CE⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）若AA1= ，∠BAC=30°，求點E到平面AB1C的距離．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵CC1⊥平面A1B1C1 ， B1C1平面A1B1C1 ， ∴CC1⊥B1C1 ， 又B1C1⊥A1C1 ，
∴B1C1⊥平面AA1C1C，又CE平面AA1C1C，
∴B1C1⊥CE，
∵E是A1C1的中點， = ，
∴ = = ，∴ ，
∴Rt△CC1E∽RtACC1 ， ∴∠C1CE=∠CAC1 ，
∴∠CAC1+∠ACE=90°，即CE⊥AC1 ，
又AC1平面AB1C1 ， B1C1平面AB1C1 ， B1C1∩AC1=C1 ，
∴CE⊥平面AB1C1 ．
（II）∵AA1= ， = ，
∴C1E= ，AC=2 ，
∴S△ACE= =3 ，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=2 ，
∴AB=4，B1C1=BC=2，
∴AB1= ，B1C= ，V = = =2 ，
∴AC2+B1C2=AB12 ， ∴AC⊥Bspan>1C，
∴S = = ，
設E到平面AB1C的距離為h，則V = = ，
∵V =V ，∴2 = ，解得h= ．
點E到平面AB1C的距離為
【解析】（1）證明B1C1⊥平面ACC1A1得出B1C1⊥CE，利用相似三角形證明CE⊥AC1 ， 故而CE⊥平面AB1C1；（2）求出各線段的長，根據V =V 解出點E到平面AB1C的距離．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．