Question

【題目】已知橢圓Γ： 經過點 ，且離心率為 ．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）直線l與圓O：x2+y2=b2相切于點M，且與橢圓Γ相交于不同的兩點A，B，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將 代入橢圓方程， ，

由橢圓的離心率e= = ，

解得：a=2，b=1，

∴橢圓Γ的方程為

（2）解：當直線l垂直于x軸時，由直線l與圓O：x2+y2=1相切，

可知直線l的方程為x=±1，易求 ．

當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，

由直線l與圓O：x2+y2=1相切，得 ，即m2=k2+1，

將y=kx+m代入 ，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ，

= ，

又因為m2=k2+1，

所以 ，

當且僅當 ，即 時等號成立，

綜上所述，|AB|的最大值為2．

【解析】（1）將E代入橢圓方程，根據橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）分類討論，當直線l不垂直于x軸時，設直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨AB丨，根據基本不等式的性質即可求得丨AB丨的最大值．