Question

【題目】某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規定：至少正確完成其中2題獲得學分2分，便可通過考察．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成：考生乙每題正確完成的概率都是 ，且每題正確完成與否互不影響．求： （Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，并計算數學期望；
（Ⅱ）請你判斷兩考生的實驗操作學科能力，比較他們能通過本次考查的可能性大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得甲正確完成題數X的可能取值為1，2，3， P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
∴甲考生正確完成題數X的概率分布列為：

X	1	2	3
P

EX= =2．
乙正確完成題數Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3， ），
P（Y=0）= = ，
P（Y=1）= = ，
P（Y=2）= = ，
P（Y=3）= = ，
∴甲考生正確完成題數Y的概率分布列為：

Y	0	1	2	3
P

E（Y）= =2．
（Ⅱ）∵E（X）=E（Y）=2，
D（X）=（1﹣2）2× +（2﹣2）2× +（3﹣2）2× = ，
D（Y）= = ，
D（X）＜D（Y），
∵P（X≥2）= = ，
P（Y≥2）= = ，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①從做對題數的數學期望考查，兩人水平相當；從做對題數的方差考查，甲較穩定；
②從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大，
因此，可以判斷甲的實驗操作能力強．
【解析】（Ⅰ）由已知得甲正確完成題數X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出甲考生正確完成題數X的概率分布列和數學期望；乙正確完成題數Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3， ），由此能求出乙考生正確完成題數Y的概率分布列和數學期望．（Ⅱ）E（X）=E（Y）=2，求出D（X）和D（Y），得到D（X）＜D（Y），再求出P（X≥2）和P（Y≥2），得到P（ξ≥2）＞P（η≥2），由此判斷甲的實驗操作能力強．
【考點精析】本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．