Question

8．如圖，二次函數y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于A和B兩點（A在B左邊），交y軸于點C，C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，一次函數的圖象過點B、D．
（1）求這個二次函數的最大值；
（2）求點A、B、C、D的坐標；
（3）根據圖象直接寫出使一次函數值大于二次函數值的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用公式法或配方法求出二次函數的最大值即可；
（2）設y=0，可求出點A，B的坐標；設x=0，可求出點C的坐標；利用點C、D是二次函數圖象上的一對對稱點，可得出D點的坐標；
（3）觀察函數圖象，寫出一次函數圖象在拋物線上方所對應的自變量的范圍即可．

解答 解：
（1）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴這個二次函數的最大值是4；
（2）設y=0，則0=-x²-2x+3，
解得：x=-3或1，
∵A在B左邊，
∴點A（-3，0），B（1，0），
設x=0，則y=3，
∴點C坐標（0，3），
∵拋物線的對稱軸是x=-1，而C、D關于直線x=-1對稱；
∴D（-2，3）；
（3）根據圖象可看出B、D兩點之外的函數圖象是一次函數值大于二次函數值，
∴x＜-2或x＞1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：由二次函數的交點式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0）可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．也考查了二次函數與不等式的關系．