Question

【題目】已知拋物線：，其中．

（1）以下結論正確的序號有_________；

①拋物線的對稱軸是直線； ②拋物線經過定點，；

③函數隨著的增大而減小； ④拋物線的頂點坐標為．

（2）將拋物線向右平移個單位得到拋物線．

①若拋物線與拋物線關于軸對稱，求拋物線的解析式；

②拋物線頂點的縱坐標與橫坐標之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并寫出的取值范圍；

③若拋物線與軸交于點，拋物線的頂點為，求間的最小距離．

Answer 1

【答案】（1）①②④；（2）①y=4x2+16x-5，②，③之間的最小距離是．

【解析】

（1）①將拋物線化為頂點式即可得出結果；②將變形為，令x2+4x=0，從而可得出結果；③根據k＞0以及拋物線的對稱軸可得出結果；④根據頂點式可得出結果；

（2）①根據平移的性質可得拋物線L1的對稱軸為直線，再根據兩條拋物線關于y軸對稱可得出關于k的方程，解得k即可得出結果；

②根據平移的性質可得出拋物線L1的解析式為，其頂點坐標為，再根據，，消去k可得出x，y之間的函數關系式，同時結合k＞0，可得出x的取值范圍；

③設點的坐標為，根據兩點間的距離公式，可用含a的式子表示出AB的長，結合二次函數的性質可得出AB的最小值．

解：（1）∵，

∴拋物線的對稱軸是直線x=-2，頂點坐標為（-2，-4k-5），

故①、④正確；

將變形為，

令x2+4x=0，解得x=0或x=-4，

∴拋物線經過定點（0，-5），（-4，-5），

故②正確；

∵k＞0，拋物線的對稱軸為直線x=-2，

∴當x＜-2時，y隨x的增大而減小；當x＞-2時，y隨x的增大而增大，

故③錯誤；

故答案為：①②④；

（2）①∵將拋物線向右平移個單位得到拋物線，拋物線的對稱軸是直線，∴拋物線的對稱軸是直線，

∵拋物線與拋物線關于軸對稱，

∴，∴，

∴平移后的拋物線的解析式為y=4x2+16x-5；

②∵，

∴拋物線：的頂點坐標為，

∴拋物線L向右平移k個單位后的拋物線的頂點坐標為，

∴，則，

∴，

∵，，

∴，∴，

∴與的函數關系式為；

③中令x=0，則y=-5，∴．

點是直線上的動點，設點的坐標為，

則，

∴當a=時，線段有最小值，最小值是．

即之間的最小距離是．