Question

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，直線的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于兩點，其中點坐標(biāo)為，點在軸上，直線與軸的交點為．為線段上的一個動點（點與不重合），過作軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點．
（1）求的值及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)線段的長為，點的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）為直線與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段上是否存在點，使得以點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為
在拋物線上，
        
二次函數(shù)解析式為：
（或）
令得：
即點在上

把代入得
（2）


（3）假設(shè)存在點，①當(dāng)時，由題意可得，

則
，，舍去
而，存在點，其坐標(biāo)為．
②當(dāng)時，
過點作垂直于拋物線的對稱軸，垂足為；
由題意可得：
       
則       
，（舍去）
而，存在點，其坐標(biāo)為．
綜上所述存在點滿足條件，其坐標(biāo)為
，

（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，可設(shè)拋物線解析式為（頂點式），把點代入解析式即可求出，根據(jù)求出點，由點和點求出直線即可
（2）由于，則線段的長等于一次函數(shù)減去二次函數(shù)值，點在線段上，故
（3）以點為頂點的三角形與相似，由于字母沒有對應(yīng)，則需分情況討論：
①，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到，注意的取值范圍，得到點 ②，同理可得，注意的取值范圍，得到點