Question

如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DM⊥x軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．

（1）直接寫出直線AB的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE．是否存在點P，使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x+4（2）D（2，6）（3）點P的坐標為（，0）或（，0）

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（4，0）兩點坐標代入，得
，解得。
∴直線AB的解析式為y=﹣x+4。
（2）過D點作DG⊥y軸，垂足為G，

∵OA=OB=4，∴△OAB為等腰直角三角形。
又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。
∴△ADG為等腰直角三角形。
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。
∴D（2，6）。
（3）存在。
由拋物線過O（0，0），B（4，0）兩點，設拋物線解析式為y=ax（x﹣4），
將D（2，6）代入，得a=。∴拋物線解析式為y=x（x﹣4）。
由（2）可知，∠B=45°，則∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。
設P（x，0），則MP=x﹣2，PB=4﹣x，
①當∠ECF=∠BPF=90°時（如圖1），△BPF與△FCE相似，過C點作CH⊥EF，

此時，△CHE、△CHF、△PBF為等腰直角三角形。
則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，
將E（x，x）代入拋物線y=x（x﹣4）中，
得x=x（x﹣4），解得x=0或，
∴P（，0）。
②當∠CEF=∠BPF=90°時（如圖2），

此時，△CEF、△BPF為等腰直角三角形。
則PE=MC=2，
將E（x，2）代入拋物線y=x（x﹣4）中，
得2=x（x﹣4），解得x=或。
∴P（，0）。
綜上所述，點P的坐標為（，0）或（，0）。
（1）根據A（0，4），B（4，0）兩點坐標，可求直線AB的解析式。
（2）作DG⊥y軸，垂足為G，由已知得OA=OB=4，△OAB為等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余關系可知，△ADG為等腰直角三角形，則DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D點坐標。
（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），設拋物線的交點式，將D點坐標代入求拋物線解析式，由于對頂角∠CFE=∠BFP=45°，故當△BPF與△FCE相似時，分為：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°兩種情況，根據等腰直角三角形的性質求P點坐標。