Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的頂點是C（0，1），直線l：y＝－ax＋3與這條拋物線交于P、Q兩點，與x軸、y軸分別交于點M和N。
（1）設點P到x軸的距離為2，試求直線l的函數關系式；
（2）若線段MP與PN的長度之比為3:1，試求拋物線的函數關系式。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點是C（0，1），∴b=0，c=1，
如圖1，

∵a>0，直線l過點N（0，3）
∴M點在x軸正半軸上
∵點P到x軸的距離為2，即點P的縱坐標為2。
把y=2代入得，
∴P點坐標為（，2）      
∵直線與拋物線交于點P
∴點P在上，
∴a=1
∴直線l的函數關系式為       
（2）如圖2，若點P在y軸的右邊，記為P₁，過點P₁作P₁A⊥x軸于A，

，

，
，即
∵ON=3，，即點P₁的縱坐標為
把代入，得
∴點P₁的坐標為（）       
又∵點P₁是直線l與拋物線的交點。∴點P₁在拋物線上，
  

∴拋物線的函數關系式為    
如圖2，若點P在y軸的左邊，記為P₂。作P₂B⊥x軸于B

。，
，
，即
∵ON=3，，即點P₂的縱坐標為
由P₂在直線l上可求得    
又∵P₂在拋物線上，
∴拋物線的函數關系式為     

（1）由于拋物線的頂點為C（0，1），因此拋物線的解析式中b=0，c=1．即拋物線的解析式為y=ax²+1．已知了P到x軸的距離為2，即P點的縱坐標為2．可根據直線l的解析式求出P點的坐標，然后將P點坐標代入拋物線的解析式中即可求得a的值，也就能求出直線l的函數關系式．
（2）本題要根據相似三角形來求．已知了線段MP與PN的長度之比為3：1，如果過P作x軸的垂線，根據平行線分線段成比例定理即可得出P點的縱坐標的值．進而可仿照（1）的方法，先代入直線的解析式，然后再代入拋物線中即可求出a的值，也就求出了拋物線的解析式