Question

【題目】在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α

（2）解：PQ= MB；理由如下：

連接AQ，作ME⊥QB，如圖所示：

∵AC⊥QP，CQ=CP，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

在△APC和△QME中， ，

∴△APC≌△QME（AAS），

∴PC=ME，

∴△AEB是等腰直角三角形，

∴ PQ= MB，

∴PQ= MB．

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性質即可得出結論；（2）連接AQ，作ME⊥QB，由AAS證明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質即可得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．