Question

【題目】如圖，A是△PBD的邊BD上一點，以AB為直徑的切PD于點C，過D作DEPO交PO延長線于點E，且有∠EDB=∠EPB.

（1）求證：PB是圓O的切線.

（2）若PB=6，DB=8，求的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析 （2）3

【解析】

(1)由已知角相等,及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB相似,利用相似三角形對應角相等得到∠OBP為直角,即可得證
(2)在直角三角形PBD中,由PB與DB的長,利用勾股定理求出PD的長,由切線長定理得到PC=PB,由PD-PC求出CD的長在直角三角形OCD中,設OC=r,則有OD=8-r,利用勾股定理列出關于r的方程求出方程的解得到r的值,即為圓的半徑

∵在△DEO和△PBO中,∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,

∴∠OBP=∠E=90°,
∵OB為圓的半徑
∴PB為圓O的切線;

(2)在R△PBD中,PB=6,DB=8，根據勾股定理得:PD==10,
∵PD與PB都為圓的切線,
∴PC=PB=6
∴DC=PD-PC=10-6=4
在R△CDO中,設OC=T,則有
D0=8-r,
根據勾股定理得: (8-r)2=r2+42
解得:r=3,
則圓的半徑為3