Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點O在BC上，⊙O經過點A，點C，且交BC于點D，直徑EF⊥AC于點G．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AC＝8，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）BD＝.

【解析】

（1）連接OA，由等腰三角形的性質得出∠B＝∠C＝30°，∠OAC＝∠C＝30°，求出∠OAB＝120°﹣30°＝90°，得出AB⊥OA，即可得出AB是⊙O的切線；

（2）由垂徑定理得出AG＝CG＝AC＝4，由直角三角形的性質得出OG＝AG＝，得出OA＝2OG＝，BO＝2OA＝2OD，即可得出BD＝OA＝．

（1）如圖，連接OA，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠C＝30°，

∴∠OAB＝∠BAC-∠OAC=120°﹣30°＝90°，

∴AB⊥OA，

∴AB是⊙O的切線.

（2）解：∵直徑EF⊥AC，

∴AG＝CG＝AC＝4，

∵∠OAC＝30°，

∴OG＝AG＝，

∴OA＝2OG＝，

∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，

∴BO＝2OA＝2OD，

∴BD＝OA＝．