Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上點（點D與A，B不重合），連結CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連結DE交BC于點F，連接BE．

（1）求證：△ACD≌△BCE；

（2）當AD＝BF時，求∠BEF的度數；

（3）若AB＝4，AD＝1，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）∠BEF＝67.5°；（3）．

【解析】

（1）由題意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，從而可證明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，從而可求出∠BEF的度數；
（3）易證△DBE是直角三角形，由勾股定理可求出DE的長，進而可求出CD的長．

解：（1）證明：由題意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝45°，

由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，

∵AD＝BF，

∴BE＝BF，

∴∠BEF＝67.5°；

（3）∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE＝1，∠CBE＝∠A＝45°，

∵AB＝4，

∴DB＝3，

∵∠DBE＝∠CBA+∠CBE＝90°，

∴△DBE是直角三角形，

∴DE＝＝，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝CE＝．