Question

如圖，△ABC的三邊滿足關系BC=

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（AB+AC），O、I分別為△ABC的外心、內心，∠BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H，
求證：（1）AI=BD；
（2）OI=

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AE．

Answer 1

證明：（1）作IG⊥AB于G點，連BI，BD，如圖，
∴AG=

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（AB+AC-BC），
而BC=

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（AB+AC），
∴AG=

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BC，
又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，
∴∠EAD=90°，
∴O點在DE上，即ED為⊙O的直徑，
而BD弧=DC弧，
∴ED垂直平分BC，即BH=

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BC，
∴AG=BH，
而∠BAD=∠DAC=∠DBC，
∴Rt△AGI≌Rt△BHD，
∴AI=BD；

（2）∵∠BID=∠BAI+∠ABI，
而∠BAI=∠DBC，∠ABI=∠CBI，
∴∠DBI=∠BID，
∴ID=DB，
而AI=BD，
∴AI=ID，
∴OI為三角形AED的中位線，
∴OI=

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AE．