Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF．

(1)求證：ED＝EC；

(2)求證：AF是⊙O的切線；

(3)如圖2，若點G是△ACD的內心，BCBE＝25，求BG的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2)見解析； (3)5

【解析】

（1）根據AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，再根據∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，可得∠BCD＝∠ADC，根據等角對等邊即可證明ED＝EC；

（2）連接OA，由垂徑定理可得OA⊥BC，再通過角的和差關系可得∠CAF＝∠ACB，即可證明AF∥BC，即OA⊥AF，即可證明AF為⊙O的切線；

（3）連接AG，通過證明△ABE∽△CBA，可得＝，從而求得AB＝5，再根據點G為內心，可得∠DAG＝∠GAC，再根據∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，即可求出∠BAG＝∠BGA，根據等角對等邊即可求出BG＝AB＝5．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，

∴∠BCD＝∠ADC，

∴ED＝EC；

（2）如圖1，連接OA，

∵AB＝AC，

∴，

∴OA⊥BC，

∵CA＝CF，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴∠ACD＝2∠ACB，

∴∠CAF＝∠ACB，

∴AF∥BC，

∴OA⊥AF，

∴AF為⊙O的切線；

（3）如圖2，連接AG，

∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，

∴△ABE∽△CBA，

∴＝，

∴AB2＝BCBE，

∵BCBE＝25，

∴AB＝5，

∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，

∵點G為內心，

∴∠DAG＝∠GAC，

又∵∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB，

∴∠BAG＝∠BGA，

∴BG＝AB＝5．