Question

【題目】如圖，□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F,CE平分∠DCB交AD于點E,BF和CE相交于點P.

(1)求證：AE=DF.

(2)已知AB=4,AD=5.

①求的值；

②求四邊形ABPE的面積與△BPC的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①②

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和角平分線得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB，同理可證DE=DC，推出AF=DE即可解決問題．

（2）①求出EF的值，利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

②連接PA．設△AEP的面積為S．求出四邊形ABPE，△PBC的面積即可解決問題．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，DC=AB，AD=BC，

∴∠AFB=∠FBC，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠FBC，

則∠ABF=∠AFB，

∴AF=AB，

同理可證：DE=DC，

∴AF=DE，

∴AE=DF．

（2）①解：由（1）可知AB=AF=DE=4，

∴AE=DF=1，EF=3，

∵EF∥BC，

∴．

②解：連接PA．設△AEP的面積為S．

∵AE= 1，EF=3，

∵EF=3AE，

∴△EFP的面積為3S，

∵AD∥BC，

∵△EFP∽△CBP，

∴，

∴S△BCP=S，

∵PB：PF=5：3，

∴S△APB：S△APF=5：3，

∴S△ABP=S，

∴S四邊形ABPE= S△ABP +S△AEP =S，

∴．