Question

【題目】如圖，點 O 為直線 AB 上一點，過點 O 作射線 OC，使∠BOC＝135°，將一個含 45°角的直角三角尺的一個頂點放在點 O 處，斜邊 OM 與直線 AB 重合，另外兩條直角邊都在直線 AB 的下方．

（1）將圖 1 中的三角尺繞著點 O 逆時針旋轉 90°，如圖 2 所示，此時∠BOM＝ 度（答案直接填寫在答題卡的橫線上）；在圖 2 中，OM 是否平分∠CON ? 請說明理由；

（2）緊接著將圖 2 中的三角板繞點 O 逆時針繼續旋轉到圖 3 的位置所示，使得 ON 在∠AOC 的內部，請探究：∠AOM 與∠CON 之間的數量關系，并說明理由；

（3）將圖 1 中的三角板繞點 O 按每秒 5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中， 第 t 秒時，直線 ON 恰好平分銳角∠AOC，請你直接寫出t 的值為多少．

Answer 1

【答案】（1）∠BOM=90°；M 是否平分∠CON，理由見解析；（2）∠AOM=∠CON，理由見解析；（3）4.5秒或40.5秒

【解析】

（1）利用旋轉的性質可得∠BOM的度數，然后計算∠MOC的度數判斷OM是否平分∠CON；

（2）利用∠AOM=45°-∠AON和∠NOC=45°-∠AON可判斷∠AOM與∠CON之間的數量關系；

（3）ON旋轉22.5度和202.5度時，ON平分∠AOC，然后利用速度公式計算t的值．

解：（1）如圖2，由旋轉的性質可知∠BOM=90°，

OM平分∠CON．理由如下：

∵∠BOC=135°，

∴∠MOC=135°-90°=45°，

而∠MON=45°，

∴∠MOC=∠MON；

（2）∠AOM=∠CON．

理由如下：如圖3，

∵∠MON=45°，

∴∠AOM=45°-∠AON，

∵∠AOC=45°，

∴∠NOC=45°-∠AON，

∴∠AOM=∠CON；

（3）t=×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．

故答案為90°；4.5秒或40.5秒．