Question

【題目】如圖，△ABC 中，BD、CE分別是AC、AB上的高，BD與CE交于點O．BD=CE

（1）問△ABC為等腰三角形嗎？為什么？

（2）問點O在∠A的平分線上嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）是，理由參見解析；（2）在，理由參見解析．

【解析】

（1）利用HL證明Rt△BCE≌Rt△DCB，由全等得到∠ABC=∠ACB，從而得到AB=AC，可知△ABC為等腰三角形；

（2）由Rt△BCE≌Rt△DCB，得到BE=CD，再利用AAS證明△EOB≌△DOC，從而得到OE=OD，又因為BD、CE分別是AC、AB上的高，所以OE⊥AB，OD⊥AC，根據角平分線的判定定理可知點O在∠A的平分線上．

（1）BD、CE分別是AC、AB上的高，

∠CEB=∠BDC=90°

又BD=CE，BC=CB，

Rt△BCE≌Rt△DCB（HL），

∠ABC=∠ACB（全等三角形對應角相等）

AB=AC（等角對等邊），

△ABC為等腰三角形；

（2）Rt△BCE≌Rt△DCB，

BE=CD（全等三角形對應邊相等），

在△EOB和△DOC中，∠EOB=∠DOC，∠OEB=∠ODC=90°，

△EOB≌△DOC（AAS），

OE=OD，

OE⊥AB，OD⊥AC，根據角平分線的判定定理（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）可知點O在∠A的平分線上．