Question

1．在平面直角坐標系xOy中，直線AB交y軸于A點，交x軸于B點，A（0，6），B（6，0）．
（1）現在一直角三角板的直角頂點放置于AB的中點C，并繞C點旋轉，兩直角邊分別交x軸、y軸于N、M（如圖）兩點，求證：CM=CN；
（2）已知點D（4，6），求點D關于直線AB對稱的點的坐標；
（3）若E是線段OB上一點，∠AEO=67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求$\frac{GE}{AE-OF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先連接OC，通過判定△OCM≌△BCN（ASA），即可得出CM=CN；
（2）過D作DD′⊥AB于H，交y軸于D′，根據AB為DD′的垂直平分線，即可得到D′為D點關于AB的對稱點，再根據D（4，6），得到AD′=AD=4，進而得到OD′=6-4=2，最后得出D′（0，2）；
（3）過B作BM⊥OF于M，則∠M=90°，通過判定△AOG≌△OBM（AAS），得到AG=OM，OG=BM，再判定△OGE≌△BFM（ASA），得到GE=FM，根據AE=AG+GE，OF=OM-FM，即可得到AE-OF=（AG+GE）-（OM-FM）=GE+FM=2GE，最后求得$\frac{GE}{AE-OF}$的值．

解答 解：（1）連接OC，
∵OA=OB=6，C為AB的中點，
∴OC⊥AB，OC=AC=BC，
∴∠MOC=45°=∠NBC，
∵∠MCO+∠OCN=∠OCN+∠NCB=90°，
∴∠MCO=∠NCB，
在△OCM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MOC=∠NBC}\\{OC=BC}\\{∠MCO=∠NCB}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△BCN（ASA），
∴CM=CN；

（2）過D作DD′⊥AB于H，交y軸于D′，
∵∠OAB=45°，
∴∠BAD=45°，
∵∠AHD=90°，
∴∠ADD′=45°，
∴AB為DD′的垂直平分線，
∴D′為D點關于AB的對稱點，
∵D（4，6），
∴AD′=AD=4，
∴OD′=6-4=2，
∴D′（0，2）；

（3）過B作BM⊥OF于M，則∠M=90°，
∵AE⊥OF，∠AOE=90°，
∴∠AGO=∠M=90°，∠OAG=∠BOM，
在△AOG和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAG=∠BOM}\\{AO=OB}\\{∠AGO=∠M}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△OBM（AAS），
∴AG=OM，OG=BM，
∵∠AEO=67.5°，OF⊥AE，∠AOE=90°，
∴∠EOG=22.5°=∠OAG，
又∵∠OAB=45°，
∴∠BAE=22.5°，
∵AE∥BM，
∴∠MBF=∠BAE=22.5°，
∴∠FBM=∠EOG，
在△OGE和△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OGE=∠M}\\{OG=BM}\\{∠FBM=∠EOG}\end{array}\right.$，
∴△OGE≌△BFM（ASA），
∴GE=FM，
∵AE=AG+GE，OF=OM-FM，
∴AE-OF=（AG+GE）-（OM-FM）=GE+FM=2GE，
∴$\frac{GE}{AE-OF}$=$\frac{GE}{2GE}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等進行推導計算．