Question

【題目】若三個非零實數x，y，z滿足：只要其中一個數的倒數等于另外兩個數的倒數的和，則稱這三個實數x，y，z構成“和諧三組數”．
（1）實數1，2，3可以構成“和諧三組數”嗎？請說明理由；
（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三點均在函數 （k為常數，k≠0）的圖象上，且這三點的縱坐標y1 ， y2 ， y3構成“和諧三組數”，求實數t的值；
（3）若直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1 ， 0），與拋物線y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2 ， y2），C（x3 ， y3）兩點．
①求證：A，B，C三點的橫坐標x1 ， x2 ， x3構成“和諧三組數”；
②若a＞2b＞3c，x2=1，求點P（ ， ）與原點O的距離OP的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：不能，理由如下：

∵1、2、3的倒數分別為1、 、 ，

∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠

∴實數1，2，3不可以構成“和諧三組數”

（2）

解：∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三點均在函數 （k為常數，k≠0）的圖象上，

∴y1、y2、y3均不為0，且y1= ，y2= ，y3= ，

∴ = ， = ， = ，

∵y1，y2，y3構成“和諧三組數”，

∴有以下三種情況：

當 = + 時，則 = + ，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；

當 = + 時，則 = + ，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；

當 = + 時，則 = + ，即t+3=t+t+1，解得t=2；

∴t的值為﹣4、﹣2或2

（3）

解：①∵a、b、c均不為0，

∴x1，x2，x3都不為0，

∵直線y=2bx+2c（bc≠0）與x軸交于點A（x1，0），

∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣ ，

聯立直線與拋物線解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0，

∵直線與拋物線交與B（x2，y2），C（x3，y3）兩點，

∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的兩根，

∴x2+x3=﹣ ，x2x3= ，

∴ + = = =﹣ = ，

∴x1，x2，x3構成“和諧三組數”；

②∵x2=1，

∴a+b+c=0，

∴c=﹣a﹣b，

∵a＞2b＞3c，

∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得 ，解得﹣ ＜ ＜ ，

∵P（ ， ）

∴OP2=（ ）2+（ ）2=（ ）2+（ ）2=2（ ）2+2 +1=2（ + ）2+ ，

令m= ，則﹣ ＜m＜ 且m≠0，且OP2=2（m+ ）2+ ，

∵2＞0，

∴當﹣ ＜m＜﹣ 時，OP2隨m的增大而減小，當m=﹣ 時，OP2有最大值 ，當m=﹣ 時，OP2有最小值 ，

當﹣ ＜m＜ 時，OP2隨m的增大而增大，當m=﹣ 時，OP2有最小值 ，當m= 時，OP2有最大值 ，

∴ ≤OP2≤ 且OP2≠1，

∵P到原點的距離為非負數，

∴ ≤OP≤ 且OP≠1

【解析】（1）由和諧三組數的定義進行驗證即可；（2）把M、N、R三點的坐標分別代入反比例函數解析式，可用t和k分別表示出y1、y2、y3 ， 再由和諧三組數的定義可得到關于t的方程，可求得t的值；（3）①由直線解析式可求得x1=﹣ ，聯立直線和拋物線解析式消去y，利用一元二次方程根與系數的關系可求得x2+x3=﹣ ，x2x3= ，再利用和諧三數組的定義證明即可；②由條件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得 的取值范圍，令m= ，利用兩點間距離公式可得到OP2關于m的二次函數，利用二次函數的性質可求得OP2的取值范圍，從而可求得OP的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的根與系數的關系和二次函數的性質，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．