Question

【題目】邊長為2 的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F．

（1）連接CQ，證明：CQ=AP；
（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，CE= BC；
（3）猜想PF與EQ的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵ ，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP

（2）

解：如圖1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC= ∠BAD=45°，∠BCA= ∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2 ，

由勾股定理得：AC= =4，

∵AP=x，

∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP，

∴ ，

∴ ，

∴y= x（4﹣x）=﹣ x（0＜x＜4），

由CE= BC= = ，

∴y=﹣ x= ，

x2﹣4x=3=0，

（x﹣3）（x﹣1）=0，

x=3或1，

∴當x=3或1時，CE= BC；

（3）

解：結論：PF=EQ，理由是：

如圖，當F在邊AD上時，過P作PG⊥FQ，交AB于G，則∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，

∴∠GPB=45°，

∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB，

∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，

∴F、A、G、P四點共圓，

連接FG，

∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

當F在AD的延長線上時，

如圖，同理可得：PF=PG=EQ．

【解析】（1）證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結論；（2）如圖1證明△APB∽△CEP，列比例式可得y與x的關系式，根據CE= BC計算CE的長，即y的長，代入關系式解方程可得x的值；（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四點共圓，得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結論．
如圖4，當F在AD的延長線上時，同理可得結論．
【考點精析】關于本題考查的全等三角形的性質和等腰三角形的性質，需要了解全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能得出正確答案．