Question

已知兩直線l₁，l₂分別經過點A（1，0），點B（﹣3，0），并且當兩直線同時相交于y軸正半軸的點C時，恰好有l₁⊥l₂，經過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₁交于點K，如圖所示．

（1）求點C的坐標，并求出拋物線的函數解析式；
（2）拋物線的對稱軸被直線l₁，拋物線，直線l₂和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數量關系？請說明理由；
（3）當直線l₂繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M，請找出使△MCK為等腰三角形的點M，簡述理由，并寫出點M的坐標．

Answer 1

KD=DE=EF；點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，
△MCK為等腰三角形.      

試題分析：（1）解法1：由題意易知：△BOC∽△COA，
∴，即，∴，
∴點C的坐標是（0，），                           2分
由題意，可設拋物線的函數解析式為，
把A（1，0），B（﹣3，0）的坐標分別代入，
得，解這個方程組，得，
∴拋物線的函數解析式為． .4分
（2）解法1：截得三條線段的數量關系為KD=DE=EF．
理由如下：
可求得直線l₁的解析式為，
直線l₂的解析式為，
拋物線的對稱軸為直線x=-1，                                 6分
由此可求得點K的坐標為（﹣1，），
點D的坐標為（﹣1，），點E的坐標為（﹣1，），點F的坐標為（﹣1，0）.
∴KD=，DE=，EF=，
∴KD=DE=EF．                                                8分
（3）當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，△MCK為等腰三角形．
理由如下：
（i）連接BK，交拋物線于點G，易知點G的坐標為（﹣2，），

又∵點C的坐標為（0，），則GC∥AB，
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK為正三角形，
∴△CGK為正三角形
∴當l₂與拋物線交于點G，即l₂∥AB時，符合題意，此時點M₁的坐標為（﹣2，），            10分
（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC為等腰三角形，
∴當l₂過拋物線頂點D時，符合題意，此時點M₂坐標為（﹣1，）， .12分
（iii）當點M在拋物線對稱軸右邊時，只有點M與點A重合時，滿足CM=CK，
但點A、C、K在同一直線上，不能構成三角形，
綜上所述，當點M的坐標分別為（﹣2，），（﹣1，）時，
△MCK為等腰三角形.      
點評：解答本題的的關鍵是熟練掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似；兩組邊對應成比例且夾角相等的三角形相似