Question

如圖，在平面直角坐標系中，等邊中，BC∥軸，且BC=，頂點A在拋物線上運動．

（1）當頂點A運動至與原點重合時，頂點C是否在該拋物線上？
（2）在運動過程中有可能被軸分成兩部分，當上下兩部分的面積之比為1:8（即）時，求頂點A的坐標；
（3）在運動過程中，當頂點B落在坐標軸上時，直接寫出頂點C的坐標．

Answer 1

（1）在；（2）或；（3）、、

試題分析：（1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與y軸交于點D，由BC∥x軸，BC=AC=，可得，，即可得到C點的坐標，再代入拋物線解析式即可作出判斷；
（2）過點A作于點D，設點A的坐標為（，）．由根據相似三角形的性質可得，再根據等邊三角形的性質可求得的長，即可求得結果；
（3）根據函數圖象上的點的坐標的特征結合二次函數的性質求解即可．
（1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與y軸交于點D
∵BC∥x軸，BC=AC=，
∴，．
∴C點的坐標為．
∵當時，．
∴當頂點A運動至與原點重合時，頂點C在拋物線上；
（2）過點A作于點D，

設點A的坐標為（，）．
∵，
∴
∵等邊的邊長為，
∴．
∴．
∴，解得．
∴頂點A的坐標為或；
（3）當頂點B落在坐標軸上時，頂點C的坐標為、、．
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.