Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以 OA長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；   
（2）若tan∠ACB=，AE=7，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明略
（2）

（1）證明：連接OE，
∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°．
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°． …………………………… 1分
又 OA=OE， ∴∠3=∠4．
∵∠1=∠2，
∴∠4=∠2．   …………………………………………… 2分
∴∠4+∠5=90°，即∠OEC=90°．
∴OE⊥EC．
∴CE是⊙O的切線． ……………………………………… 3分
（2）解：連接EF，

∵AF是直徑，∴∠AEF=90°．
∵ ∠ACB=∠3，
∴tan∠3=tan∠ACB=．………………………………………… 4分
在RtΔAEF中，∵tan∠3=，∴ cos∠3=．
∴ AF==． 即 ⊙O的直徑等于． ………………… 5分