Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：點D是BC的中點；
（2）判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（3）如果⊙O的直徑為9，cosB＝，求DE的長．

Answer 1

（1）證明略
（2）相切
（3）1

（1）證明：連接AD
∵AB為半圓O的直徑,
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴點D是BC的中點
(2)解：相切
連接OD
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE與⊙O相切
（3） ∵AB為半圓O的直徑
∴∠ADB=900
在Rt△ADB中
∵cosB=
∴BD=3
∵CD=3
在Rt△ADB中
∴cosC=
∴CE=1