Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線交x軸于A、C兩點，與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E．

(1)求拋物線的解板式．

(2)點P在直線AB上方的拋物線上運動，若△ABP的面積最大，求此時點P的坐標．

(3)在平面直角坐標系中，以點B、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)點P(，)；(3)符合條件的點D的坐標為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【解析】

(1)令y＝0，求出點A的坐標，根據拋物線的對稱軸是x＝﹣1，求出點C的坐標，再根據待定系數法求出拋物線的解析式即可；

(2)設點P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用拋物線與直線相交，求出點B的坐標，過點P作PF∥y軸交直線AB于點F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面積，利用二次函數的最大值，即可求得點P的坐標；

(3)求出點E的坐標，然后求出直線BC、直線BE、直線CE的解析式，再根據以點B、E、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，得到直線D1D2、直線D1D3、直線D2D3的解析式，即可求出交點坐標．

解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴點A(1，0)，

∵拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為直線x＝﹣1，

∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即點C(﹣3，0)，

∴ ，解得：

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)∵點P在直線AB上方的拋物線上運動，

∴設點P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵拋物線與直線y＝x﹣1交于A、B兩點，

∴ ，解得：，

∴點B(﹣4，﹣5)，

如圖，過點P作PF∥y軸交直線AB于點F，

則點F(m，m﹣1)，

∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，

∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA

＝(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)

＝-（m+ ）2+ ，

∴當m＝時，P最大，

∴點P(，).

(3)當x＝﹣1時，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴點E(﹣1，﹣2)，

如圖，直線BC的解析式為y＝5x+15，直線BE的解析式為y＝x﹣1，直線CE的解析式為y＝﹣x﹣3，

∵以點B、C、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴直線D1D3的解析式為y＝5x+3，直線D1D2的解析式為y＝x+3，直線D2D3的解析式為y＝﹣x﹣9，

聯立 得D1(0，3)，

同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

綜上所述，符合條件的點D的坐標為D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．