Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)C的坐標(biāo)為______；

（2）如圖，點(diǎn)M在拋物線位于A、C兩點(diǎn)間的部分（與A、C兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)M作PM⊥AC，與x軸正半軸交于點(diǎn)P，連接PC，過點(diǎn)M作MN平行于x軸，交PC于點(diǎn)N．

①若點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)，求出PM的長；

②當(dāng)MN=NP時，求PC的長以及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②PC＝5，點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）在拋物線的解析式中，分別令y=0和x=0，即可得出結(jié)論．

（2）設(shè)直線MN與y軸相交于點(diǎn)E．過M作MF⊥x軸，垂足為F．

①由N是CP的中點(diǎn)，MN平行于x軸，得到E為CO的中點(diǎn)，從而得出MF =2，令拋物線解析式中y=2，解方程即可得出M的坐標(biāo)，易求直線AC的解析式為y=2x+4，，由MP⊥AC，可設(shè)直線MP為，把M的坐標(biāo)代入得到b的值，從而得到直線MP的解析式，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出PM的值．

②設(shè)AC交MP于G．由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠NPM=∠MPA，進(jìn)而得到△APG≌△CPG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=GC，AP=PC．設(shè)P（x，0），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程，求出x的值，可得P的坐標(biāo)，得到PC=PA=5．再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到G的坐標(biāo)．求出直線PG的解析式，和拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組即可得到M的坐標(biāo)．

（1）在中，令y=0，得：，解得：x=－2或x=4，∴A（－2，0），B（4，0）．令x=0，得：y=4，∴C（0，4）．

（2）直線MN與y軸相交于點(diǎn)E．過M作MF⊥x軸，垂足為F．

①∵N是CP的中點(diǎn)，MN平行于x軸，∴E為CO的中點(diǎn)，∴MF=OE=CO=2，∴，解得：x=或x=（舍去），∴M（，2），易求直線AC的解析式為y=2x+4．

∵MP⊥AC，∴直線MP為，把M（，2）代入得：b=，∴直線MP的解析式為：，令y=0，得：x=，∴P（，0），∴PM=．

②設(shè)AC交MP于G．

∵MN∥AB，∴∠NMP=∠MPA．

∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，∴∠NPM=∠MPA．

∵PG=PG，∠PGA=∠PGC=90°，∴△APG≌△CPG，∴AG=GC，AP=PC．設(shè)P（x，0），∴，解得：x=3，∴P（3，0），∴PC=PA=3+2=5．

∵AG=GC，∴G為AC的中點(diǎn)，∴G（－1，2）．

設(shè)直線PG為y=kx+b，∴，解得： ，∴直線PG為．解方程組：，得： 或（舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．