Question

【題目】數學課堂上老師對一道課外作業進行了延拓，請同學們解答下列問題：

（1）如圖1：∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，AB＝6，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連接QE，則BP與QE的數量關系是：BP　 QE．

（2）如圖2：在（1）的條件下，延長QE交射線BC于點F，若設BP＝x，點Q到射線BC的距離為y，試寫出y關于x的函數關系式．

（3）如圖3：在（1）的條件中，如果改點P為直線BC上的任意一個動點，其他條件均不變，請探究AP在旋轉過程中，△ABQ周長是否存在最小值，如果有，請求出這個值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）y＝x+3（x＞0）；（3）存在，△ABQ周長最小值為18+6．

【解析】

（1）由“SAS”可證△ABP≌△AEQ，可得BP=QE；
（2）在圖2中，過點F作FG⊥BE于點G．過點Q作QH⊥BC，垂足為H，由（1）可知△ABP≌△AEQ，可得∠AEQ=∠ABP=90°，由直角三角形的性質可求EF=6，可得QF=QE+EF=x+6，由直角三角形的性質可求解；
（3）先確定點Q的位置，點Q在過點E且垂直于AE的直線上運動，由三邊關系可得當點Q在BN上時，△ABQ周長有最小值，即可求解．

（1）∵將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝AE，∠BAE＝∠PAQ＝60°，

∴∠BAP＝∠EAQ，且AP＝AQ，AB＝AE，

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴BP＝QE，

故答案為：＝；

（2）在圖2中，過點F作FG⊥BE于點G．過點Q作QH⊥BC，垂足為H．

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE＝AB＝6．

由（1）可知△ABP≌△AEQ，

∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，且∠AEB＝60°，

∴∠BEF＝30°，

∴∠EBF＝∠BEF＝30°，

∴BF＝EF，

∵FG⊥BE，

∴BG＝＝3，

∵∠EBF＝30°，

∴BF＝2GF，BG＝GF，

∴GF＝3，BF＝6，

∴EF＝6，

∵QE＝BP＝x，

則QF＝QE+EF＝x+6，

在Rt△QHF中，∠QFH＝60°，

∴∠FQH＝30°，

∴FH＝QF，

∴y＝QH＝FH＝（x+6）．（x＞0）

即y關于x的函數關系式是：y＝x+3（x＞0）

（3）由（1）可知：△ABP≌△AEQ，

∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，

∴點Q在過點E且垂直于AE的直線上運動，

如圖3，延長AE交BC于點N，連接AF，QN，

∵∠ABC＝90°，∠BAN＝60°，

∴∠ANB＝30°，

∴AN＝2AB＝12，且AE＝AB＝6，

∴EN＝AN﹣AE＝6，

∴AE＝EN，且EF⊥AN，

∴AQ＝QN，

∵△ABQ周長＝AB+AQ+BQ＝6+BQ+QN≥6+BN，

∴當點Q在BN上時，△ABQ周長有最小值，

∵BN＝AB＝18，

∴△ABQ周長最小值＝18+6．