Question

2．如圖，菱形ABCD中，∠D=60°，E為線段CD上一點，連接BE，將線段BC沿直線BE翻折交對角線AC于點F，連接EF，則∠FEB的角度為30°．

Answer 1

分析 如圖，作∠ACB的平分線CP交BE于P，連接PF．首先證明點P是△BCF的內心，推出∠FPO=60°，∠OCP=30°，由△FOP∽△EOC，推出$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OP}{OC}$，推出$\frac{OF}{OP}$=$\frac{EO}{OC}$，由∠FOE=∠POC，推出△EOF∽△COP，推出∠FEO=∠OCP=30°．

解答 解：如圖，作∠ACB的平分線CP交BE于P，連接PF．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC，△ADC都是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∵BP平分∠FBC，
∴點P是△BCF的內心，
∴PF平分∠BFC，∠OCP=30°，
∵∠CBF+∠CFB=120°，
∴∠FPO=∠PFB+∠PBF=$\frac{1}{2}$∠BFC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠BFC+∠CBF）=60°，
∴∠FPO=∠OCE，∵∠FOP=∠EOP，
∴△FOP∽△EOC，
∴$\frac{FO}{EO}$=$\frac{OP}{OC}$，
∴$\frac{OF}{OP}$=$\frac{EO}{OC}$，∵∠FOE=∠POC，
∴△EOF∽△COP，
∴∠FEO=∠OCP=30°，即∠FEB=30°，
故答案為30°．

點評 本題考查翻折變換、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．