Question

7．如圖所示，點M是矩形ABCD的邊AD的中點，P是BC邊上一動點，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分別為E，F
（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？
（2）在（1）中，當點P運動到什么位置時，矩形PEMF變為正方形？為什么？

Answer 1

分析 （1）若AD=2AB，加上M點為AD的中點，則AB=AM=DM=CD，于是可判斷△ABM和△CDM為全等的等腰直角三角形，易得∠BAC=90°，然后利用∠PEM=∠PFM=90°可判斷四邊形PEMF為矩形；
（2）若P點為BC的中點，則MP為等腰三角形MBC的頂角的平分線，根據角平分線的性質得PE=PF，然后根據正方形的判定方法可判斷矩形PEMF變為正方形．

解答 解：（1）矩形ABCD的長與寬滿足AD=2AB時，四邊形PEMF為矩形．理由如下：
∵AD=2AB，M點為AD的中點，
∴AB=AM=DM=CD，
∴△ABM和△CDM為全等的等腰直角三角形，
∴∠AMB=45°，∠DMC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°，
∴四邊形PEMF為矩形；
（2）當P點運動到BC的中點時，矩形PEMF變為正方形．理由如下：
∵P點為BC的中點，
∴MP為等腰三角形MBC的頂角的平分線，
∴PE=PF，
∴矩形PEMF變為正方形．

點評 本題考查了正方形的判定：先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．也考查了矩形的判定于性質．