Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點D（1，-4）是拋物線頂點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）這個二次函數的表達式為y=x²-2x-3．
（2）設直線BC的解析式為y=kx+m，則不等式x²+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．
（3）連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（4）當四邊形 ABPC的面積最大時，求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．
（5）若把條件“點P是直線BC下方的拋物線上一動點．”改為“點P是拋物線上的任一動點．”，其它條件不變，當以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接設成頂點式即可得出拋物線解析式；
（2）先確定出點B，C坐標，再根據圖象直接寫出范圍；
（3）利用菱形的性質得出PO=PC即可得出點P的縱坐標，代入拋物線解析式即可得出結論；
（4）先利用坐標系中幾何圖形的面積的計算方法建立函數關系式即可求出面積的最大值；
（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質，一組對邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

解答 解：（1）∵點D（1，-4）是拋物線y=x²+bx+c的頂點，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
故答案為y=x²-2x-3；

（2）令x=0，
∴y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
∴不等式x²+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3，
故答案為x＜0或＞3；

（3）如圖1，∵四邊形POP′C為菱形，
∴PO=PC，
∵C（0，-3），
∴點P的縱坐標為-$\frac{3}{2}$，
∵P在拋物線y=x²-2x-3上，
∴-$\frac{3}{2}$=x²-2x-3，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$（舍），
∴P（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$．-$\frac{3}{2}$）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC的解析式為y=x-3，
過點P作PE∥y軸交BC于E，
設P（m，m²-2m-3），（0＜m＜3）
∴E（m，m-3），
∴PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PCE+S_△PBE
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE•|x_P|+$\frac{1}{2}$PE•|x_B-x_P|
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$PE（|x_P|+|x_B-x_P|）
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（-m²+3m）×（m+3-m）
=6+$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）
=-$\frac{1}{2}$（m²-3m）+6
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{57}{8}$，
當m=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形ABPC最大}=$\frac{57}{8}$．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴直線BC的解析式為y=x-3，直線BD的解析式為y=2x-6，直線CD的解析式為y=-x-3，
∵以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形，
∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3①；
①當DP₁∥BC時，
∴直線DP₁的解析式為y=x-5②，
聯立①②解得，點P₁（2，-3），[另一個點為（1，-4）和點D重合，舍去]
②當CP₂∥BD時，∴直線CP₂的解析式為y=2x-3③，
聯立①③解得點P₂（4，5）
③當BP₃∥CD時，∴直線BP₃∥CD的解析式為y=-x+3④，
聯立①④解得點P3（-2，5），
即：以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，點P的坐標為（-2，5）、（2，-3）或（4，5）．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求拋物線解析式，不規則圖形的面積的計算方法，菱形的性質，梯形的性質，解本題的關鍵是用方程或方程組的思想解決問題．