Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+mx+n與x軸交于A （﹣2，0）、B兩點，與y軸交于點C．拋物線對稱軸為直線x=3，且對稱軸與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在線段BC上從點C開始向點B運動（點P不與點B、C重合），速度為每秒 個單位，設運動時間為t（單位：s），過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點F．求四邊形CDBF的面積S關于t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

∵拋物線對稱軸為直線x=3，

∴﹣ ，

∴m= ，

把A（﹣2，0）代入y=﹣ x2+ x+n中，得n=4，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+4

（2）

易得B（8，0），C（0，4）

設直線BC：y=kx+b，（k≠0）

∴ ，

∴

∴直線BC：y=﹣ x+4，

設點P（p，﹣ p+4），

F（p，﹣ p2+ p+4），

∴ ，

∴S四邊形CDBF=S△CDB+S△CBF

=

= ，

在Rt△BCO中，BC= =4 ，

如圖，過點P作PG⊥y軸于點G，

∴PG∥OB

∴△PCG∽△BCO，

∴ ，

∴ ，

∴p=2t

∴S四邊形CDBF=﹣4t2+16t+10

【解析】（1）根據對稱軸和點A的坐標，直接求出拋物線解析式；（2）先確定出直線BC：y=﹣ x+4，設出點P坐標，表示出FP用面積的和，求出四邊形CDBF的面積和點P的橫坐標的關系，最后用相似三角形即可．