Question

【題目】如圖，Rt△AOB∽△DOC，∠AOB=∠COD=90°，M為OA的中點，OA=6，OB=8，將△COD繞O點旋轉，連接AD，CB交于P點，連接MP，則MP的最大值（ ）

A.7
B.8
C.9
D.10

Answer 1

【答案】C
【解析】解：取AB的中點S，連接MS、PS，

則PM≤MS+PS，
∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB=∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴ ，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC=∠OAD，
∴∠OBP+∠OAD=180°，
∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中點，
∴PS=AB=5，
∵M為OA的中點，S是AB的中點，
∴MS=OB=4，
∴MP的最大值是4+5=9，
故選：C．
取AB的中點S，連接MS，PS，則當M,S,P共線時，MP的值最大，易得MS為三角形ABO的中位線，可求得MS的長；.根據已知相似的條件，推出△COB∽△DOA，則∠OBC=∠OAD，∠OBP+∠OAD=180°，從而得∠APB=∠AOB=90°，則可求得PS的長度.