Question

【題目】如圖，射線交一圓于點，，射線交該圓于點，，且 .

（1）判斷與的數量關系.（不必證明）

（2）利用尺規作圖，分別作線段的垂直平分線與的平分線，兩線交于點（保留作圖痕跡，不寫作法），求證：平分.

Answer 1

【答案】（1）AC=AE；（2）圖見解析，證明見解析

【解析】

（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．證△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得證；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得證．

證明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO.

∵，

∴BC=DE，

∴BP=DQ，

又∵OB=OD，

∴△OBP≌△ODQ，

∴OP=OQ.

∴BP=DQ=CP=EQ.

直角三角形APO和AQO中，

AO=AO，OP=OQ，

∴△APO≌△AQO.

∴AP=AQ.

∵CP=EQ，

∴AC=AE.

（2）作圖如圖所示

證明：∵AC=AE，∴，

∴， 由于AF是CE的垂直平分線，且CF平分，

∴CF=EF.

∴

因此EF平分