Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB邊的中點，連接CD，點P為BC邊上一點，把△PBD沿PD翻折，點B落在點E處，設PE交AC于F．

（1）如圖1，求證：△PCF的周長＝CD．

（2）若點P為BC邊的延長線上一點，（1）中結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，線段PC、CF、PF、CD之間是否存在其它的數量關系，畫出圖形并證明．

（3）如圖2，設DE交AC于G．若∠FPC＝30°，CD＝3，直接寫出FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PF+FC﹣PC＝2CD，理由見解析；（3）FG＝2﹣2．

【解析】

（1）如圖1﹣1中，連接CE．根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、等腰三角形的性質以及折疊的性質推知CP+PF+CF＝BC＝CD；

（2）結論：PF+FC﹣PC＝2CD．首先證明FC＝FE，可得CF+PF＝PE＝BP，推出△PFC的周長＝PC+PF+FC＝PC+PB＝2PC+BC，可得PF+FC﹣PC＝2BC＝2CD；

（3）如圖2﹣1中，連接EC．作GK⊥PE于K．由（1）可知：EF＝CF，PF+FC+PC＝CD＝6+2，設FC＝EF＝a，構建方程求出a，設GF＝m，在Rt△FGK中，由∠GFK＝∠PFC＝60°，推出∠FGK＝30°，推出FK＝m，GK＝m，構建方程求出m即可解決問題；

解：（1）如圖1﹣1中，連接CE．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB邊的中點，

∴BD＝CD．

∵由翻折可知BD＝DE，

∴CD＝BD＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∴∠DCE﹣∠DEA＝∠DEC﹣∠DEF，即∠FCE＝∠FEC，

∴FC＝FE，

∴CF+PF＝PE＝BP，

∴CP+PF+CF＝BC＝CD

∴△PCF的周長＝CD；

（2）結論：PF+FC﹣PC＝2CD．

理由：如圖1﹣2中，連接EC．

∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB邊的中點，

∴BD＝CD．

∵由翻折可知BD＝DE，

∴CD＝BD＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∴∠DCE﹣∠DEA＝∠DEC﹣∠DEF，即∠FCE＝∠FEC，

∴FC＝FE，

∴CF+PF＝PE＝BP，

∴△PFC的周長＝PC+PF+FC＝PC+PB＝2PC+BC，

∴PF+FC﹣PC＝2BC＝2CD．

（3）如圖2﹣1中，連接EC．作GK⊥PE于K．

由（1）可知：EF＝CF，PF+FC+PC＝CD＝6+2，設FC＝EF＝a，

∵∠FPC＝30°，

∴PF＝2a，PC＝a，

∴3a+a＝6+2，

∴a＝2，設GF＝m，在Rt△FGK中，∵∠GFK＝∠PFC＝60°，

∴∠FGK＝30°，

∴FK＝m，GK＝m，

∵∠GEK＝∠B＝45°，

∴EK＝GK＝m，

∴m+m＝2，

∴m＝2﹣2．

∴FG＝2﹣2．