Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A．

（1）直接寫出：b的值為　 　；c的值為　 　；點A的坐標為　 　；

（2）點M是線段BC上的一動點，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．設點D的橫坐標為m．

①如圖1，過點D作DM⊥BC于點M，求線段DM關于m的函數關系式，并求線段DM的最大值；

②若△CDM為等腰直角三角形，直接寫出點M的坐標　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣；﹣2；（﹣1，0）；（2）①MD＝（﹣m2+4m），DM最大值；②（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

（1）直線yx﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，則點B、C的坐標為：(4，0)、(0，﹣2)，即可求解；

（2）①MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m)，即可求解；②分∠CDM=90、∠MDC=90°、∠MCD=90°三種情況，分別求解即可．

（1）直線yx﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，

則點B、C的坐標為：(4，0)、(0，﹣2)．

將點B、C的坐標代入拋物線表達式并解得：b，c=﹣2．

故拋物線的表達式為：…①，點A(﹣1，0)．

故答案為：，﹣2，(﹣1，0)；

（2）①如圖1，過點D作y軸的平行線交BC于點H交x軸于點E．

設點D(m，m2m﹣2)，點H(m，m﹣2)．

∵∠MDH+∠MHD=90°，∠OBC+∠BHE=90°，∠MHD=∠EHB，

∴∠MDH=∠OBC=α．

∵OC=2，OB=4，

∴BC=，

∴cos∠OBC=，則cos；

MD=DHcos∠MDH(m﹣2m2m+2)(﹣m2+4m)．

∵0，故DM有最大值；

②設點M、D的坐標分別為：(s，s﹣2)，(m，n)，nm2m﹣2；分三種情況討論：

(Ⅰ)當∠CDM=90°時，如圖2，

過點M作x軸的平行線交過點D與x軸的垂線于點F，交y軸于點E．

易證△MEC≌△DFM，

∴ME=FD，MF=CE，

即s﹣2﹣2=m﹣s，ss﹣2﹣n，

解得：s，或s=8(舍去)．

故點M(，)；

(Ⅱ)當∠MDC=90°時，如圖3，過D作直線DE⊥y軸于E，MF⊥DE于F．

同理可得：s，或s=0(舍去)．

故點M(，)；

(Ⅲ)當∠MCD=90°時，

則直線CD的表達式為：y=﹣2x﹣2…②，

解方程組：

得：(舍去)或，

故點D(﹣1，0)，不在線段BC的下方，舍去．

綜上所述：點M坐標為：(，)或(，)．