Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其頂點為點，點的坐標為（0，－1），該拋物線與交于另一點，連接.

（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為的形式；

（2）若點在上，連接，求的面積；

（3）一動點從點出發，以每秒1個單位的速度沿平行于軸方向向上運動，連接，，設運動時間為秒（>0），在點的運動過程中，當為何值時，？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）將A，B兩點的坐標代入拋物線解析式中，得到關于a，b的方程組，解之求得a，b的值，即得解析式，并化為頂點式即可；

（2）過點A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，求出直線BC，BE的解析式，繼而可以求得G、H點的坐標，進一步求出GH，聯立BE與拋物線方程求出點F的坐標，然后根據三角形面積公式求出△FHB的面積；

（3）設點M坐標為（2，m），由題意知△OMB是直角三角形，進而利用勾股定理建立關于m的方程，求出點M的坐標，從而求出MD，最后求出時間t.

（1）∵拋物線與軸交于A（1，0），B(3，0)兩點，

∴

∴

∴拋物線解析式為.

（2）如圖1，

過點A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，

由（1）有，C（0，-2），

∵B（3，0），

∴直線BC解析式為y=x-2，

∵H（1，y）在直線BC上，

∴y=-，

∴H（1，-），

∵B（3，0），E（0，-1），

∴直線BE解析式為y=-x-1，

∴G（1，-），

∴GH=，

∵直線BE：y=-x-1與拋物線y=-x2+x-2相較于F，B，

∴F（，-），

∴S△FHB=GH×|xG-xF|+GH×|xB-xG|

=GH×|xB-xF|

=××(3-)

=．

（3）如圖2，

由（1）有y=-x2+x-2，

∵D為拋物線的頂點，

∴D（2，），

∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，

∴設M（2，m），（m＞），

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，

∵∠OMB=90°，

∴OM2+BM2=OB2，

∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=-（舍），

∴M（2，），

∴MD=-，

∴t=-.