Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，經過點的拋物線的對稱軸是．

（1）求拋物線的解析式．

（2）平移直線經過原點，得到直線，點是直線上任意一點，軸于點，軸于點，若點在線段上，點在線段的延長線上，連接，，且．求證：．

（3）若（2）中的點坐標為，點是軸上的點，點是軸上的點，當時，拋物線上是否存在點，使四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在，點的坐標為或.

【解析】

（1）先求得點A的坐標，然后依據拋物線過點A，對稱軸是，列出關于a、c的方程組求解即可；
（2）設P（3n，n），則PC=3n，PB=n，然后再證明∠FPC=∠EPB，最后通過等量代換進行證明即可；
（3）設，然后用含t的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點F的坐標，然后依據中點坐標公式可得到，，從而可求得點Q的坐標（用含t的式子表示），最后，將點Q的坐標代入拋物線的解析式求得t的值即可．

解：（1）當時，，

解得，即，

拋物線過點，對稱軸是，

得，

解得，拋物線的解析式為；

（2）∵平移直線經過原點，得到直線，

∴直線的解析式為.

∵點是直線上任意一點，

∴，則，.

又∵，

∴.

∵軸，軸

∴

∴

∵，

∴，

∴.

（3）設，點在點的左側時，如圖所示，則.

∵，

∴.

∴.

∵四邊形為矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

將點的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

當點在點的右側時，如下圖所示，則.

∵，

∴.

∴.

∵四邊形為矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

將點的坐標代入拋物線的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

綜上所述，點的坐標為或.