Question

15．已知，如圖，CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠FBO，OE平分∠COF，
（1）求∠EOB的度數
（2）若向右平行移動AB，其他條件不變，那么∠OBC：∠OFC的值是否發生變化？若變化，找出其中的規律，若不變，求出這個比值
（3）若向右平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC=∠OBA？若存在，請直接寫出∠OBA的度數，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠AOC，然后求出∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，計算即可得解；
（2）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AOB=∠OBC，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠OFC=2∠OBC，從而得解；
（3）根據三角形的內角和定理求出∠COE=∠AOB，從而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分線，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°；

（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；

（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分線，
∴∠COE=$\frac{1}{4}$∠AOC=$\frac{1}{4}$×60°=15°，
∴∠OEC=180°-∠C-∠COE=180°-120°-15°=45°，
故存在某種情況，使∠OEC=∠OBA，此時∠OEC=∠OBA=45°．

點評 本題考查了平行線的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．