Question

5．如圖，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，頂點A，D分別在∠ABC的兩邊BA，BC上滑動（不與點B重合），△ADE的外接圓交BC于點F，O為圓心．
（1）連接AF，EF，則∠AFE=45°；
（2）當點D在點F的右側時，
①求證：EF=BD；
②若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，則⊙O的面積S的取值范圍是16π＜S≤40π．

Answer 1

分析 （1）由$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$可知∠AFE=∠ADE=45°．
（2）①根據等腰直角三角形得∠ADE=45°，則∠ABD=∠AFE，再利用同弧所對的圓周角相等可知：∠AEF=∠ADB，根據AAS證明△ABD≌△AFE；
②由全等可知：BD=EF，∠EAF=∠BAD，因此設BD=x，則EF=x，根據等式的性質得∠BAF=∠EAD=90°，則△ABF是等腰直角三角形，計算得BF=8，則DF=x-8，根據勾股定理得BE²=EF²+BF²，求出x的取值為8＜x≤12，同時由圓的面積公式計算得：S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根據二次函數的增減性得出：16π＜S≤40π．

解答 （1）解：如圖，∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AFE=∠ADE=45°，
故答案為45°．

（2）①證明：∵∠ADE=∠AFE=45°，∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠AFE，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{AF}$，
∴∠AEF=∠ADB，
∵DE是直徑，
∴∠EFD=∠EFB=90°，
∴∠AFB=∠B=45°，
∴AB=AF，
在△ABD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEF}\\{∠B=∠AFE}\\{AB=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△AFE；

②解：∵△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∵AB=4 $\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8，
設BD=x，則EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，8 $\sqrt{2}$＜BE≤4 $\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²≤208，
∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，
則S=$\frac{π}{4}$DE²=$\frac{π}{4}$[x²+（x-8）²]=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴拋物線的開口向上，
又∵對稱軸為直線x=4，
∴當8＜x≤12時，S隨x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
故答案為16π＜S≤40π．

點評 本題是圓的綜合題、等腰直角三角形、三角函數、全等三角形的判定和性質、二次函數的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會構建二次函數利用二次函數的性質解決問題，屬于中考壓軸題．