Question

【題目】已知：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．D是平面上一點，連結BD．將線段BD繞點B逆時針旋轉90°得到線段BE，連結AE，CD．

（1）在圖1中補全圖形，并證明：AE⊥CD．

（2）當點D在平面上運動時，請猜測線段AD，CE，AB，BD之間的數量關系．

（3）如圖2，作點A關于直線BE的對稱點F，連結AD，DF，BF．若AB=11，BD=7，AD=14，求線段DF的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）DF=12

【解析】

（1）由旋轉的性質得到∠DBE=90°，BD=BE，進而可得∠ABE=∠CBD，即可證明△ABE≌△CBD，由全等三角形對應角相等得到∠EAB=∠DCB．在△AMB和△CMN，根據對頂角相等和三角形內角和定理即可得到∠CNM=90°，即可得出結論；

（2）連接ED．在Rt△CNE、Rt△AND、Rt△ANC、Rt△DNE中，分別利用勾股定理即可得出結論．

（3）延長EB到G．由A和F關于直線BE對稱，得到∠ABG=∠FBG，AB=BF，進而得到BC=BF．根據鄧嬌的余角相等得到∠CBE=∠FBD，即可證明△CBE≌△FBD，根據全等三角形對應邊相等得到CE=FD．由（2）的結論可求出CE的長，等量代換即可得出結論．

（1）作圖見圖1．

∵將線段BD繞點B逆時針旋轉90° 得到線段BE，

∴∠DBE=90°，BD=BE．

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE=∠CBD．

在△ABE和△CBD中，∵AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD，

∴△ABE≌△CBD，

∴∠EAB=∠DCB．

∵∠AMB=∠CMN，

∴∠CNM=∠ABM=90°，

∴AE⊥CD；

（2）．理由如下：

連接ED，如圖2．

∵AE⊥CD，

∴，，

∴．

∵，，

∴．

∵，，

∴．

（3）延長EB到G，如圖3．

∵A和F關于直線BE對稱，

∴∠ABG=∠FBG，AB=BF．

∵AB=BC，

∴BC=BF．

∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABG+∠CBE=90°，∠FBG+∠FBD=90°，

∴∠CBE=∠FBD．

在△CBE和△FBD中，∵CB=FB，∠CBE=∠FBD，BE=BD，

∴△CBE≌△FBD，

∴CE=FD．

由（2）可知：，

∴，

∴CE=12，

∴DF=CE=12．