Question

【題目】已知二次函數y=x2–kx+k–1（k＞2）．

（1）求證：拋物線y=x2–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點；

（2）拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，若ΔOAC的面積是，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y=x2-4x+3

【解析】

（1）先計算判別式的值得到△=(k﹣2)2，利用k＞2，可判斷△＞0，于是根據△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點即可得到結論；

（2）根據拋物線與x軸的交點問題，解方程x2﹣kx+k﹣1=0得x=k﹣1或x=1，利用k＞2，點A在點B的左側得到A(1，0)，B(k﹣1，0)，再表示出C(0，k﹣1)，然后根據ΔOAC的面積是，解方程求出k即可得到拋物線的表達式．

（1）∵△=(﹣k)2﹣4×1×(k﹣1)=(k﹣2)2，

又∵k＞2，

∴(k﹣2)2＞0，即△＞0，

∴拋物線y=x2﹣kx+k﹣1與x軸必有兩個交點；

（2）∵拋物線y=x2﹣kx+k﹣1與x軸交于A、B兩點，

∴令y=0，有x2﹣kx+k﹣1=0，解得：x=k﹣1或x=1．

∵k＞2，點A在點B的左側，

∴A(1，0)，B(k﹣1，0)．

∵拋物線與y軸交于點C，

∴C(0，k﹣1)．

∵，

∴k-1=3，解得：k=4，

∴拋物線的表達式為y=x2﹣4x+3．