Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=BC，點D在△ABC外部，且∠ACB+∠ADB=180°，連接AB、CD.

(1)如圖1，當∠ACB=90°時，則∠ADC=______°.

(2)如圖2，當∠ACB=60°時，求證：DC平分∠ADB．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析.

【解析】

（1）延長AD和CB，相交于點E，如圖1，先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠ABC=45°，再利用等角的余角可得∠BDE=∠ACB，則可判斷△EBD∽△EAC，所以ED：EC=EB：EA，則ED：EB=EC：EA，加上∠DEC=∠BEA，則可判斷△EDC∽△EBA，所以∠2=∠1，然后利用三角形內角和定理可得∠ADC=∠ABC=45°；

（2）延長AD和CB，相交于點E，如圖2，先判斷△ABC為等邊三角形得到∠ABC=60°，與（1）一樣可證明∠2=∠1，則∠ADC=∠ABC=60°，再計算出∠BDC=60°，于是可判斷DC平分∠ADB．

（1）延長AD和CB，相交于點E，如圖1，∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵∠ACB+∠ADB=180°，

而∠BDE+∠ADB=180°，∴∠BDE=∠ACB，

而∠BED=∠AEC，∴△EBD∽△EAC，

∴ED：EC=EB：EA，

∴ED：EB=EC：EA，

而∠DEC=∠BEA，∴△EDC∽△EBA，

∴∠2=∠1，

∴∠ADC=∠ABC=45°，

（2）證明：延長AD和CB，相交于點E，如圖2，

∵AC=BC，∠ACB=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

與（1）一樣可證明△EDC∽△EBA，

∴∠2=∠1，

∴∠ADC=∠ABC=60°，

而∠ADB=180°-∠ACB=60°=120°，

∴∠BDC=60°，

∴DC平分∠ADB．