Question

【題目】已知△ABC中，點D為BC的中點，BD=AB，AD⊥BC．

（1）如圖1，求∠BAD的度數；

（2）如圖2，點E為BC上一點，點F為AC上一點，連接AE、BF交于點G，若∠AGF=60°，求證：BE=CF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點G為BF的中點，點H為AG上一點，延長BH交AC于點K，AK=HK，BM⊥AE交AE延長線于點M，BG=9，HM=10，求線段AG的長．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）證明見解析；（3）14.5

【解析】

（1）先判斷出AB=AC，可得△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形三線合一的性質可得結論；

（2）利用等式的性質判斷出∠BAE=∠BCF，進而得出△ABE≌△BCF，即可得出結論；

（3）如圖3，作輔助線，構建矩形NMDF，先根據三角形的中位線可得DM=FN=，由△ANF≌△HMB，得AN=HM=10，計算NG的長，相加可得結論．

（1）∵點D為BC的中點，AD⊥BC，

∴AB=AC，BD=CD=BC，

∵BD=AB，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=∠BAC=30°；

（2）由（1）知，△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

∴∠ABF+∠CBF=60°，

∵∠AGF=60°，

∴∠BAE+∠ABF=60°，

∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），

∴BE=CF，

（3）如圖，過F作FN⊥AE于N，過F作FD⊥BM，交BM的延長線于D，

∵AM⊥BM，

∴GM∥DF，

∵BG=GF，

∴BM=DM，

∵∠AGF=60°，

∴∠BGM=60°，

∵BM⊥AE，

∴∠BMG=90°，

∴∠GBM=30°，

在Rt△BMG中，MG=BG=，BM=DM=FN=，

∵AK=HK，

∴∠HAK=∠AHK=∠BHM，

∵∠ANF=∠HMB=90°，

∴△ANF≌△HMB，

∴AN=HM=10，

Rt△FGN中，∠NFG=∠GBM=30°，

∴GN=GF=，

∴AG=AN+NG=10+=14.5．

即：AG的長為14.5．