Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點A出發，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；過點P作直線PF∥AD，PF交CD于點F，過點F作EF⊥BD，且與AD、BD分別交于點E、Q；連接PE，設點P的運動時間為t（s）（0＜t＜10）．
解答下列問題：
（1）填空：AB= cm；
（2）當t為何值時，PE∥BD；
（3）設四邊形APFE的面積為y（cm2）
①求y與t之間的函數關系式；
②若用S表示圖形的面積，則是否存在某一時刻t，使得S四邊形APFE= S菱形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）10
（2）解：∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，

又∵PF∥AD，

∴四邊形APFD為平行四邊形，

∴DF=AP=t，

又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF=t，

∴AE=10﹣t，

當PE∥BD時，△APE∽△ABD，

∴ ，

∴ ，

∴t=5，

∴當t=5時，PE∥BD

（3）蛸：①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，

∴△DFQ∽△DCO．

∴ ，

即 ，

∴ ．

∴ ，

同理， ，

如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S菱形ABCD=ABCG= ACBD，

即10CG= ×12×16，

∴CG= ．

∴S平行四邊形APFD=DFCG= ，

∴S△EFD= EFQD=

∴ ，

②當S四邊形APFE= S菱形ABCD

則 ，

即t2﹣20t+64=0，

解這個方程，得t1=4，t2=16＞10（不合，舍去）

∴存在t=4s，使得S四邊形APFE= S菱形ABCD．

【解析】解：（1）∵在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm，

∴BO=DO=8cm，AO=CO=6cm，

∴AB= =10（cm），

所以答案是：10；

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解因式分解法的相關知識，掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢，以及對平行四邊形的判定與性質的理解，了解若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．