Question

【題目】已知C是線段AB垂直平分線m上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊作等邊三角形ACD，點(diǎn)D在直線AB的上方，連接DB與直線m交于點(diǎn)E，連接BC，AE．

(1)如圖1，點(diǎn)C在線段AB上．

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1；

②求證：∠EAC=∠EDC；

(2)如圖2，點(diǎn)C在直線AB的上方， 0°＜∠CAB＜30°，用等式表示線段BE，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】(1)①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；(2)BE=CE+DE，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EA＝EB，CA＝CB，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CA＝CD，因此CD＝CB，即可證得∠EDC＝∠B；（2）如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可推出∠EDC＝∠EAC，又因?yàn)椤?/span>1＝∠2，可得∠DEA＝60°，所以∠AEB＝120°，進(jìn)而可推出△CEF是等邊三角形，因此△CDF≌△CBE，故BE＝DF＝CE＋DE.

(1)①補(bǔ)全圖形如圖所示．

②∵直線m是AB的垂直平分線，

∴EA=EB，CA=CB．

∴∠EAC=∠B．

∵△ACD是等邊三角形，

∴CA=CD．

∴CD=CB．

∴∠EDC=∠B．

∴∠EAC=∠EDC．

(2)BE=CE+DE．

如圖，在EB上截取EF，使EF=CE，連接CF．

∵直線m是AB的垂直平分線，

∴EA=EB，CA=CB．

∴∠EAB=∠EBA，∠CAB=∠CBA．

∴∠EAC=∠EBC．

∵△ACD是等邊三角形，

∴CA=CD，∠ACD=60°．

∴CD=CB．

∴∠EDC=∠EBC．

∴∠EDC=∠EAC．

∵∠1=∠2，

∴∠DEA=∠ACD=60°．

∴∠AEB=120°．

∵EA=EB，m⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=60°．

∴△CEF是等邊三角形．

∴∠CEF=∠CFE=60°．

∴△CDF≌△CBE．

∴DF=BE．

∴BE=CE+DE．