Question

20．如圖①所示，四邊形ABCD是長方形，將長方形ABCD折疊，點B恰好落在AD邊上的點E處，折痕為FG，如圖②所示：

（1）圖②中，證明：GE=EF；
（2）將圖②折疊，點C與點E重合，折痕為PH，如圖③所示，當∠FEH=90°時：
①當EF=5，EH=12時，求長方形ABCD的面積；
②將圖③中的△PED繞著點E旋轉，使點D與點A重合，點P與點M重合，
如圖④，求證：△GEM≌△FEH．

Answer 1

分析 （1）由折疊得：∠BFG=∠EFG，再由平行線的性質可得：∠EFG=∠EGF，所以EG=EF；
（2）①先求BC的長，再作△EFH的高線EM，并利用面積法求EM=$\frac{60}{13}$，根據面積公式求長方形ABCD的面積；
②由（1）得：EG=EF，同理EH=EP，再根據旋轉得：EM=EH，再證明∠GEM=∠FEH=90°，根據SAS可證明兩三角形全等．

解答 （1）證明：如圖2，由折疊得：∠BFG=∠EFG，
∵EG∥BC，
∴∠EGF=∠BFG
∴∠EFG=∠EGF，
∴EG=EF；
（2）①如圖3，∵∠FEH=90°，
∴FH=$\sqrt{E{F}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
由折疊得：BF=EF=5，CH=EH=12，
∴BC=BF+FH+HC=5+13+12=30，
過E作EM⊥BC于M，
S_△EFH=$\frac{1}{2}$EF•EH=$\frac{1}{2}$FH•EM，
$\frac{1}{2}$×5×12=$\frac{1}{2}$×13×EM，
EM=$\frac{60}{13}$，
∴長方形ABCD的面積=EM×BC=$\frac{60}{13}$×30=$\frac{1800}{13}$；
②由折疊得：AE=DE，
∠GAE=∠MAE=90°，
∴G、A、M共線，
由（1）得：EG=EF，
同理得：EH=EP，
∵EP=EM，
∴EM=EH，
∵∠AEF=∠FEH=90°，
∴A、E、H共線，
∴∠AEG=∠HEP，
∵∠DEH=90°，
∴∠DEP+∠HEP=90，
∴∠DEP+∠AEG=90°，
由旋轉得：∠DEP=∠AEM，
∴∠AEM+∠AEG=90°，
∴∠GEM=∠FEH=90°，
∴△GEM≌△FEH．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、折疊的性質、三角形全等的性質和判定，明確折疊前后的兩條邊及角對應相等，熟練掌握矩形的對邊平行且四個角是直角，同時本題還利用平角的定義證明三點共線．