Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于兩點（點在點的右側），與軸交于點，連接.

（1）求點三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）點為拋物線對稱軸上一點，連接，，若，求點的坐標；

（3）已知點，若是拋物線上一個動點（其中），連接，，，求面積的最大值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），. .拋物線的對稱軸為直線；（2）；（3）當時，面積有最大值是. .

【解析】

（1）令y=0，解一元二次方程可得A、B的坐標，由x=0，可得點C的坐標．把拋物線解析式配方即可得到對稱軸；

（2）設點D（1，m），由CD=BD，得到，根據兩點間的距離公式列方程，解方程即可；

（3）過點P作PQ⊥y軸于點Q，過點E作直線ER⊥y軸于點R，過點P作PF⊥ER于點F，可得四邊形QRFP是矩形．由，得到．把代入，配方即可得到結論．

（1）令，得：．

解方程，得：，．

∵點在點的右側，

∴點的坐標為，點的坐標為．

由，得：，

∴點的坐標為．

∵．

∴拋物線的對稱軸為直線．

（2）設點，

∵，∴，

∴

∴．

∴D（1，）．

（3）如圖，過點P作PQ⊥y軸于點Q，過點E作直線ER⊥y軸于點R，過點P作PF⊥ER于點F，

∴∠PQR=∠QRF=∠RFP=90°，

∴四邊形QRFP是矩形．

∵，

∴

．

∵，

∴

∴當時，面積有最大值是．

當時，，

∴．