Question

【題目】如圖，在ABCD中，CG⊥AB于點G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于點E，連接AE，且AE⊥AD．

（1）若BG＝2，BC＝，求EF的長度；

（2）求證：CE+BE＝AB．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析

【解析】

（1）在中，利用勾股定理求得，再在等腰中求得；然后根據平行四邊形的性質得AB∥CD，繼而得∠EFG＝45°，為等腰直角三角形，可得結果；

（2）據平行四邊形的性質結合已知得AE⊥AD，根據等角的余角相等得∠GAE＝∠GCB，從而證得△BCG≌△EAG（AAS），由于AB＝BG+AG＝CE+EG+BG結合BG＝EG＝BE，從而得證.

（1）∵CG⊥AB，

∴∠AGC＝∠CGB＝90°，

∵BG＝2，BC＝，

∴CG=，

∵∠ABF＝45°，

∴BG＝EG＝2，

∴CE＝3，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠GCD＝∠BGC＝90°，∠EFG＝∠GBE＝45°，

∴CF＝CE＝3，

∴EF＝CE＝3；

（2）如圖，延長AE交BC于H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC∥AD，

∴∠AHB＝∠HAD，

∵AE⊥AD，

∴∠AHB＝∠HAD＝90°，

∴∠BAH+∠ABH＝∠BCG+∠CBG＝90°，

∴∠GAE＝∠GCB，

在△BCG與△EAG中，，

∴△BCG≌△EAG（AAS），

∴AG＝CG，

∴AB＝BG+AG＝CE+EG+BG，

∵BG＝EG＝BE，

∴CE+BE＝AB．