Question

【題目】如圖，四邊形內接于，，是對角線。點E在的延長線上，且．

（1）判斷與的位置關系，并說明理由；

（2）與的延長線交于點F，若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）DE與相切，理由見詳解；（2）

【解析】

(1)連接BD，由，可知BD是直徑，根據等量代換和圓周角定理，可得：∠BDC+∠CDE=90°，進而，可得到結論；

(2)設AF=x，易證：FAD~FCB，則，，推出CF=2x，DF =2x-2，根據勾股定理，列出方程，即可求解.

（1） 連接BD，

∵，

∴BD是直徑，

∴∠BCD=90°，

∴∠DEC+∠CDE=90°，

∵，

∴∠BAC+∠CDE=90°,

∵∠BAC=∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE=90°，即：∠BDE=90°，

∴BD⊥DE，

∵點D在上，

∴DE與相切.

（2）設AF=x，

∵，BD⊥DE，

∴BD⊥AC，

∴AD=CD=2，AB=CB=4，

∵四邊形內接于，

∴∠FAD=∠FCB，

∵∠F=∠F，

∴FAD~FCB，

∴，即：，

∴CF=2x，

∴DF=CF-CD=2x-2，

∵，

∴∠DAF=90°，

∴，

∴，解得：，（舍去），

∴AF=.