Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，以D為圓心，D長為半徑作作⊙D.

⑴求證：AC是⊙D的切線.

⑵設AC與⊙D切于點E，DB=1，連接DE，BF，EF.

①當∠BAD= 時，四邊形BDEF為菱形；

②當AB= 時，△CDE為等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①30°，②+1

【解析】

(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，進一步說明DM=DB，即DB是⊙D的半徑，即可完成證明；

（2）①先說明△BDF是等邊三角形，再運用直角三角形的內角和定理解答即可；②先說明DE=CE=BD=1，再設AB=x，則AE=x，分別表示出AC、BC、AB的長，然后再運用 勾股定理 解答即可.

⑴證明：如圖：作DE⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，

∴DE=DB.

∴DM是⊙D的半徑，

∴AC是⊙D的切線；

⑵①如圖：

∵四邊形BDEF為菱形；

∴△BDF是等邊三角形

∴∠ADB=60°

∴∠BAD=90°-60°=30°

∴當∠BAD=30°時，四邊形BDEF為菱形；

②∵△CDE為等腰三角形.

∴DE=CE=BD=1，

∴DC=

設AB=x，則AE=x

∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，BC=1+

∴ ，解得x=+1

∴當AB=+1時，△CDE為等腰三角形.